Matematyka

Poziom podstawowy

Zdający posiada umiejętności w zakresie:

1. wykorzystania i tworzenia informacji:
   • interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki
2. wykorzystania i interpretowania reprezentacji:
   • używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych
3. modelowania matematycznego:
   • dobiera model matematyczny do prostej sytuacji
4. użycia i tworzenia strategii:
   • stosuje strategię, która jasno wynika z treści zadania
5. rozumowania i argumentacji:
   • prowadzi proste rozumowanie, składające się z niewielkiej liczby kroków.

Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których:

1. liczby rzeczywiste
   • planuje i wykonuje obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności oblicza pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych,
   • bada, czy wynik obliczeń jest liczbą wymierną,
   • wyznacza rozwinięcia dziesiętne; znajduje przybliżenia liczb; wykorzystuje pojęcie błędu przybliżenia,
   • stosuje pojęcie procentu i punktu procentowego w obliczeniach,
   • posługuje się pojęciem osi liczbowej i przedziału liczbowego; zaznacza przedziały na osi liczbowej,
   • wykorzystuje pojęcie wartości bezwzględnej i jej interpretację geometryczną, zaznacza na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równań i nierówności typu:
     |x - a|= b , |x - a| >b , |x-a| < b,
   • oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych oraz stosuje prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych i rzeczywistych,
   • zna definicję logarytmu i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi o wykładniku naturalnym,
2. wyrażenia algebraiczne
   • posługuje się wzorami skróconego mnożenia:
     (a + b)², (a - b)²,(a + b)³,(a - b)³, a² - b², a³ + b³, a³ + b³,
   • rozkłada wielomian na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia, grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias,
   • dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany,
   • wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić do iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomocą przekształceń opisanych w punkcie 2,
   • oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej,
   • dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; skraca i rozszerza wyrażenia wymierne,
3. równania i nierówności
   • rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe; zapisuje rozwiązanie w postaci sumy przedziałów,
   • rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do równań i nierówności kwadratowych,
   • rozwiązuje układy równań, prowadzące do równań kwadratowych,
   • rozwiązuje równania wielomianowe metodą rozkładu na czynniki,
   • rozwiązuje proste równania wymierne, prowadzące do równań liniowych lub kwadratowych, np.
     
   • rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do prostych równań wymiernych,
4. funkcje
   • określa funkcję za pomocą wzoru, tabeli, wykresu, opisu słownego,
   • odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę i zbiór wartości, miejsca zerowe, maksymalne przedziały, w których funkcja rośnie, maleje, ma stały znak,
   • sporządza wykres funkcji spełniającej podane warunki,
   • potrafi na podstawie wykresu funkcji y=f(x) naszkicować wykresy funkcji y=f(x+a), y=f(x) +a, y= -f(x) , y=f(-x),
   • sporządza wykresy funkcji liniowych,
   • wyznacza wzór funkcji liniowej,
   • wykorzystuje interpretację współczynników we wzorze funkcji liniowej,
   • sporządza wykresy funkcji kwadratowych,
   • wyznacza wzór funkcji kwadratowej,
   • wyznacza miejsca zerowe funkcji kwadratowej,
   • wyznacza wartość najmniejszą i wartość największą funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym,
   • rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym), prowadzące do badania funkcji kwadratowej,
   • sporządza wykres, odczytuje własności i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym związane z proporcjonalnością odwrotną,
   • sporządza wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw i rozwiązuje zadania umieszczone w kontekście praktycznym,
5. ciągi liczbowe
   • wyznacza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym,
   • bada, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny,
   • stosuje wzory na n-ty wyraz i sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i ciągu geometrycznego, również umieszczone w kontekście praktycznym,
6. trygonometria
   • wykorzystuje definicje i wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów ostrych,
   • rozwiązuje równania typu sinx = a, cos x = a, tgx = a , dla 0^o < x < 90^o,
   • stosuje proste związki między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego,
   • znając wartość jednej z funkcji trygonometrycznych, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego,
7. planimetria
   • korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu,
   • wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych w kontekście praktycznym,
   • znajduje związki miarowe w figurach płaskich, także z zastosowaniem trygonometrii, również w zadaniach umieszczonych w kontekście praktycznym,
   • określa wzajemne położenie prostej i okręgu,
8. geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
   • wykorzystuje pojęcie układu współrzędnych na płaszczyźnie,
   • podaje równanie prostej w postaci Ax +By +C = 0 lub y=ax+b, mając dane dwa jej punkty lub jeden punkt i współczynnik a w równaniu kierunkowym,
   • bada równoległość i prostopadłość prostych na podstawie ich równań kierunkowych,
   • interpretuje geometrycznie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi,
   • oblicza odległości punktów na płaszczyźnie kartezjańskiej,
   • wyznacza współrzędne środka odcinka,
   • posługuje się równaniem okręgu
     (x - a)² + (y - b)² = r²
9. stereometria
   • wskazuje i oblicza kąty między ścianami wielościanu, między ścianami i odcinkami oraz między odcinkami takimi jak krawędzie, przekątne, wysokości,
   • wyznacza związki miarowe w wielościanach i bryłach obrotowych z zastosowaniem trygonometrii,
10. elementy statystyki opisowej
    teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka:
    • oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych,
    • zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych, niewymagających użycia wzorów kombinatorycznych; stosuje zasadę mnożenia,
    • wykorzystuje sumę, iloczyn i różnicę zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń,
    • wykorzystuje własności prawdopodobieństwa i stosuje twierdzenie znane jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

Poziom rozszerzony

To co na poziomie podstawowym oraz poniższe.

Zdający posiada umiejętności w zakresie:

1. wykorzystania i tworzenia informacji:
   • używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników
2. wykorzystania i interpretowania reprezentacji:
   • rozumie i interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi
3. modelowania matematycznego:
   • buduje model matematyczny danej sytuacji, uwzględniając ograniczenia i zastrzeżenia
4. użycia i tworzenia strategii:
   • tworzy strategię rozwiązania problemu
5. rozumowania i argumentacji:
   • tworzy łańcuch argumentów i uzasadnia jego poprawność.

Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których:

1. liczby rzeczywiste
   • stosuje twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze; wyznacza największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność pary liczb naturalnych,
   • stosuje wzór na logarytm potęgi i wzór na zamianę podstawy logarytmu,
2. wyrażenia algebraiczne
   • posługuje się wzorem:
     (a - 1)(1 + a + ...+ a^n-1) = aⁿ - 1,
   • wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian x-a; stosuje twierdzenie o reszcie z dzielenia wielomianu przez dwumian x-a,
   • stosuje twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych,
3. równania i nierówności
   • wzory Viéte’a,
   • rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z niej wnioski,
   • rozwiązuje równania i nierówności wielomianowe,
   • rozwiązuje proste równania i nierówności wymierne, np.
     
   • rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną, typu:
     ||x + 1| + 2| > 3 i |x + 1| + |x + 2|<3,
4. funkcje

   Mając dany wykres funkcji y=f(x) potrafi naszkicować:

   • wykres funkcji y= |f(x)|,
   • wykresy funkcji y=c f(x) , y=f(cx) , gdzie f jest funkcją trygonometryczną,
   • wykres będący efektem wykonania kilku operacji, na przykład
     y= | f(x+2) - 3 |,
   • wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw,
   • rozwiązuje zadania (również umieszczone w kontekście praktycznym) z wykorzystaniem takich funkcji
5. ciągi liczbowe
   • wyznacza wyrazy ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie
6. trygonometria
   • stosuje miarę łukową i miarę stopniową kąta,
   • wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta, przez sprowadzenie do przypadku kąta ostrego,
   • posługuje się wykresami funkcji trygonometrycznych przy rozwiązywaniu nierówności typu
     sinx < a, cos x > a , tgx > a,
   • stosuje związki: sin2x + cos2x = 1,
     oraz wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów w dowodach tożsamości trygonometrycznych,
   • rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne, na przykład
     
7. planimetria
   • stosuje twierdzenia charakteryzujące czworokąty wpisane w okrąg i czworokąty opisane na okręgu,
   • stosuje twierdzenie o związkach miarowych między odcinkami stycznych i siecznych,
   • stosuje własności figur podobnych i jednokładnych w zadaniach, także umieszczonych w kontekście praktycznym,
   • znajduje związki miarowe w figurach płaskich z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów,
8. geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej
   • interpretuje geometrycznie nierówność liniową z dwiema niewiadomymi i układy takich nierówności,
   • rozwiązuje zadania dotyczące wzajemnego położenia prostej i okręgu, oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej,
   • oblicza odległość punktu od prostej,
   • opisuje koła za pomocą nierówności,
   • oblicza współrzędne oraz długość wektora; dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczbę,
   • interpretuje geometrycznie działania na wektorach,
   • stosuje wektory do rozwiązywania zadań, a także do dowodzenia własności figur,
   • stosuje wektory do opisu przesunięcia wykresu funkcji,
9. stereometria
   • wyznacza przekroje wielościanów płaszczyzną,
   • stosuje twierdzenie o trzech prostych prostopadłych,
10. elementy statystyki opisowej
    • wykorzystuje wzory na liczbę permutacji, kombinacji i wariacji do zliczania obiektów w sytuacjach kombinatorycznych.